Niečo o grafoch

Vyšlo v časopise Nový život, vrámci seriálu "Technovinky"

Aký máte vzťah k matematike? Nebojte sa, pokojne odpovedzte. A kľudne aj nahlas, nebudem vás počuť. Ak je náhodou aspoň trochu pozitívny, tak vás verím nasledujúci text zaujme. Dnes by som vám rád predstavil časť jedného webu, ktorý je zameraný na výuku matematiky a jeho tvorcovia myslia aj na nevidiacich.

Konkrétne sa budeme zaoberať stránkou www.desmos.com, presnejšie jednou jej podstránkou, ktorá je podľa môjho názoru veľmi zaujímavá, pretože nám umožňuje modelovať graf zadanej funkcie pomocou zvuku. V krátkosti pripomeniem, že priebeh mnohých matematických funkcií (zámerne nepíšem všetkých, pretože existujú aj funkcie, ktoré v skutočnosti neexistujú) je možné reprezentovať pomocou jednoduchého grafu. Vidiaci žiaci základných a stredných škôl sa s grafmi funkcií stretávajú pomerne často, pretože sú pre nich zväčša predstaviteľnejšie, ako ich algebraický zápis. Graf sa kreslí do tzv. súradnicovej sústavy kde sa nachádza horizontálna os X, ktorá sa kreslí zľava doprava a na ňu kolmá vertikálna os Y, ktorá sa kreslí z hora na dol. Obe osy sú rozdelené na "dieliky", ktoré sú očíslované. V strede, kde sa osy pretínajú je dielik označený číslom 0, smerom doľava od neho sú na osy X postupne klesajúce záporné čísla, smerom doprava od nuly sú zase postupne rastúce kladné čísla. Podobne os Y je smerom nahor od nuly označená kladnými a nadol zápornými číslami.

Skúsme ešte konkrétny príklad. Predstavme si, že chceme "nakresliť" graf meniacej sa teploty počas jedného roka. Počas každého týždňa v roku budeme merať teplotu a na konci týždňa si zapíšeme priemer. Následne si zostrojíme graf toho, čo sme namerali. Na os X si postupne napíšeme čísla 1 až 52, pretože rok má 52 týždňov a nad alebo pod každý týždeň zapíšeme nameranú priemernú hodnotu vo výške osy Y. Viete si tento graf predstaviť? Ak áno, tak gratulujem, ak nie, tak si z toho nič nerobte, pretože sa konečne dostávam k popisu stránky, ktorá vám to nakreslí zvukom. Isto však súhlasíte s tým, že vypočítané priemery môžeme zapísať do dvojíc v tvare číslo týždňa, priemerná hodnota a že priemerné hodnoty budú zo začiatku roka veľmi nízke, postupne budú stúpať, v priebehu leta budú najvyššie a potom budú zase klesať.

Stránka s ktorou sa budete hrať sa nachádza na adrese www.desmos.com/calculator?lang=cs Ide o kalkulačku, do ktorej možno zapísať predpis funkcie, alebo niekoľko bodov v tvare (týždeň,teplota) a následne si vypočuť graf, ktorý vznikne vykreslením zadaného. Os X je reprezentovaná stereo zvukom a os Y výškou tónu. Teda, hodnoty zo zápornej časti osy X znejú naľavo od stredu, nula je uprostred, rovno pred vami a kladné hodnoty na osy x sú napravo. Výška tónu zase odzrkadľuje hodnotu na osy Y.

Po otvorení stránky sa používatelia čítača obrazovky nachádzajú priamo v editačnom poli nazvanom "Expression 1", do ktorého môžeme zapísať nejaký výraz. Vyskúšajme úplne jednoduchú funkciu a do políčka napíšme y=x. Potom ako ho dopíšeme nám kalkulačka poradí, že ak si chceme graf pozrieť, máme stlačiť alt+t. Po stlačení uvedenej kombinácie si môžeme graf prezerať šípkami alebo stlačením písmenka H si ho vypočuť v celku. Pri počúvaní grafu si všimnite nasledujúce veci:

• Ak po grafe prechádzate šípkami, počujete okrem pípnutia aj hodnoty v tvare X:0.2, Y:0.2. To sú hodnoty funkcie v danom bode, v ktorom sa kurzorom práve nachádzate
• Tóny naľavo od nuly sú viac naľavo a tie napravo od nuly viac napravo od stredu
• Ak je hodnota Y záporná (je pod osou x) tak je zvuk mierne zašumený, to aby sme so zvukového "náhľadu" počuli, že sme pod osou X
• Ak je os X kladná, tak sa pípanie takisto zmení
• Vyskúšajte tlačidlo tabulátor resp. shift+tabulátor. Tieto slúžia na pohyb po zaujímavých bodoch grafu, napríklad po extrémoch, prípadne priesečníkoch s inými grafmi.

Určite si graf vypočujte aj stlačením H, aby ste ho počuli ako celok.

Prezerací režim ukončite stlačením esc, stlačte šípku dolu a do políčka expression 2 napíšte napríklad: y=sin(x)

Opäť aktivujte prezerací režim a funkciu si vypočujte postupne šípkami, aj ako celok. A všimnite si:

• Zaujímavý "pop" zvuk v bode nula. Ten nás upozorňuje na to, že 2 zadané grafy sa v tomto bode dotýkajú.
• Funkcia je periodická, to znamená, že hodnoty na osy Y sú striedavo kladné a záporné, pekne to počuť na občasnom "zašumení" tónu
• Opäť vyskúšajte aj tabulátor, priesečník bude medzi zaujímavými bodmi

Nazáver ešte vyskúšajme jednu zaujímavú , takú januárovo "uzimenú" verziu predchádzajúcej funkcie: y=sin(x^2)

Znak ^ (strieška) znamená exponent, teda napísané ľudskou rečou, skúšame funkciu y=sínus z x na druhú.

Zvedavci verím stránku preskúmajú hlbšie, aby zistili, že kalkulačka má aj nejaké nastavenia, kde si môžete určiť na akom rozsahu chcete funkciu počúvať a niekoľko ďalších zaujímavých nastavení. V pomocníku sa napríklad dozviete, že ak by ste si chceli zahrať body nameraných teplôt z príkladu vyššie, tak by ste ich do poľa pre výraz museli zapísať v tvare (1,-5), (2,-6), (3,-7), (4,-6), (5,-4)... a nastaviť si rozumný rozsah pre osy X aj Y.

Vyššie opísaná stránka bude asi zaujímavá hlavne pre školopovinných čitateľov, pre nás, ktorí "už nemusíme" však môže byť okrem zdrojom pobavenia aj nástrojom na tréning vizuálnej predstavivosti, alebo pomôckou pri vizualizácii rôznych údajov z praxe.